数学を20点アップする解法【⑥おうぎ形】

皆さんこんにちは、ナレッジの三澤です。

今回はおうぎ形の問題を解けるようになりましょう!

おうぎ形

おうぎ形の問題で出題されるのは次の3パターンです。

  1. おうぎ形の中心角
  2. おうぎ形の面積
  3. 弧の長さ

例題をやって、この3パターンに対応できるようになりましょう。

例題

次の問いに答えなさい。

\( (1)半径が10cm、弧の長さが8πcmのおうぎ形の中心核を求めよ\)

\( (2)半径10cm、中心角60°のおうぎ形の面積を求めよ\)

\( (3)半径20cm、中心角135°のおうぎ形の弧の長さを求めよ\)

ポイント

おうぎ形は円の一部と考える

円:おうぎ形=360°:中心角

おうぎ形というのは、ホールケーキをカットしたショートケーキのように、円の一部だと考えましょう。

おうぎ形を円の一部だと考えることで、比の計算でも応用する事が出来ます。

学校で習っているおうぎ形の計算は、こうですよね?

\( 円周率:π、半径:r、中心角:aとすると \)

\( おうぎ形の面積S \)

\( \displaystyle S=πr^2×\frac{a}{360}\)

\(弧の長さl \)

\( \displaystyle l=2πr×\frac{a}{360}\)

円:おうぎ形=360°:中心角
を応用した形になります。

暗記が苦手な人は、比で覚えておきましょう。

解説・解答

(1)
\(おうぎ形の中心核をa°とすると、\)
\(半径10cmなので、円周は\)
\(150cm×2×π=20πcm\)・・・①

①より、円とおうぎ形の比率を考えると、

\(20π:8π=360:a\)
\(20πa=2880π\)
\(\displaystyle a=\frac{2880π}{20π}\)
\(a=144\)
\(つまり中心角は144°\)

(2)
\(おうぎがたの面積をS㎤とすると\)
\(半径が5cmなので、\)
\(円の面積は5cm×5cm×π=25π㎤\)・・・①


①より、円とおうぎ形の比率を考えると、


\(100π:S=360:60\)
\(360S=6000π\)
\(S=\frac{50}{3}π\)
\(よっておうぎ形の面積は\frac{50}{3}π㎤\)

(3)
\(おうぎ形の弧の長さをlcmとすると\)
\(半径が20cmなので、\)
\(円周=20cm×2×π=40πcm\)・・・①


①より、円とおうぎ形の比率を考えると、


\(40π:l=360:135\)
\(360l=5400π\)
\(l=15π\)
\(よって弧のの長さは15πcm\)

なぜ大事なのか?

おうぎ形の計算が重要である理由は2つあります。

・入試で計算問題として頻出される問題である
・空間図形の単元でも頻出される問題である

入試では、例題のような問題が単問で出題されることがあります。

こういった単問は簡単にもかかわらず配点が高いです。

そこは確実に点を取っておきたいですよね。

空間図形でも、次のような問題としておうぎ形を使うことがあります。

皆さんは、しっかりと出来るように反復で演習を行っていきましょう。

今回は以上になります。

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