数学を20点アップする解法【⑤比の計算】

”比の計算なんて楽勝だよ!”
と思っている君。

本当にそうかな?

比の問題の最難関は文章問題です。

\( a:b=c:d \)を方程式にすると
:(コロン)の内側と外側をかけて\( ad=bc \)になることは分かると思います。

\( a:b=c:d \)のとき
 \( \displaystyle  ad=bcもしくは\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \)

難しいのは、文章を読んで\(a,b,c,d\)がどれを指すのか明確にすることです。

今回は、比の計算を文章問題でも簡単に解けるようにコツをお伝えしていきます。

比の計算

今回やっていくのは、比の計算ですが、計算問題だけでは面白くないので、応用問題の文章問題もトライしていきましょう。

比の計算は文章問題で解けるようになって初めて真価を発揮します。

一次関数や連立方程式など、色んな場面で比の計算は応用できます。

比の計算や考え方を自在に使えるようになれば、文章問題も一気に楽になります!

では、例題にいきましょう。

例題

次の式に適する\(x\)の値を求めよ。

(1)\( 4:3=20:x \)
(2)\( 4:3=9:x \)

次の問いに答えなさい。

(3)\( 花子さんと一郎くんの体重差は1:2です。花子さんの体重が40kgのとき、一郎君の体重は何キロですか? \)

(4)\( 男女比が4:5のクラス数は36人です。男子の人数は何にですか? \)

(5)\( 自転車Aが360m進むとき、自転車Bは150m進みます。自転車Bが250m進んだ時、Aは何m進みますか? \)

今回はこれを解いていきましょう。
文章問題を多めにしてあります。

ポイント

比の計算の文章問題はボックスで考えてみよう。
\(a:b=c:d\)の場合

ボックス(表)を書いた後は、項目①と項目②と2つに分けて、対応する文字を埋めるだけです。

各項目を埋めれば、\( a,b,c,d \)は自然と決まってきます。

これを(3)の問題で当てはめてみましょう。

項目①:花子さんの体重
項目②:一郎くんの体重

こんな風にまとめます。
上図を元に式を組み立ててみると

1 : 2 = 40 : ?
? = 80

となり、一郎君の体重は\( 80kg \)になります。

この様な要領で他問題も解いてみましょう。

解説・解答

(1)\( 4:3=20:x \)
\( 4x=60 \)
\( x=15 \)

(2)\( 4:3=9:x \)
\( 4x=27 \)
\( \displaystyle x=\frac{27}{4} \)

(3)一郎くんの体重は?
花子さんの体重:一郎くんの体重
\( 40kg : x kg = 1:2 \)
\( x=80 \)
\( 80kg \)

(4)男子の数
\( 男子をx人とすると女子は(36-x)人 \)
\( 男女比は(男:女=4:5)なので、 \)
\( 4:5=x:(36-x) \)
\( 5x=4(36-x) \)
\( 5x=144-4x \)
\( 9x=144 \)
\( x=16 \)
男子は16名

(5)自転車Aの進んだ距離
\( 自電車Aが360m進むとき、自電車Bは150m進むので、 \)
\( 自転車A:自転車B = 360 :150 \)
\( =12:5 \)
\( 自転車Bが250m進んだ場合、自転車Aの進む距離をx mとすると \)
\( 自転車A:自転車B = 12:5 =x m:250m \)
\( 5x=3000 \)
\( x=600 \)
\( 自転車Aは600m進んだ \)

なぜ大事なのか?

比の計算は、計算テクニックの武器として、自由自在に使えるようにしましょう。

これも入試問題で計算問題として出てくることは少ないです。

ですが文章題の問題で、比率の考え方を応用すればカンタンに解ける問題も多いです。

しっかり復習しておきましょう。

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